Дается краткий обзор предыдущих работ по квантовой гидродинамике. Приводится система уравнений квантовой гидродинамики для слаборелятивистской системы заряженных частиц, описываемой гамильтонианом Дарвина. Эта система уравнений включает уравнение непрерывности и уравнение баланса импульса для такой системы частиц. Анализируется роль квантовых слагаемых в уравнении баланса импульса. В качестве иллюстрации новых эффектов, возникающих в рассмотренном приближении, рассмотрены продольные волны в электронной квантовой плазме, а также волны в пучке заряженных частиц.